El Átomo de Hidrógeno

Coordenadas Polares Esféricas

La solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, es un formidable problema matemático, pero es de tal importancia fundamental, que se va a tratar de esbozar aquí. La solución se gestiona mediante la separación de variables, de modo que la función de onda esté representada por el producto:

La separación conduce a tres ecuaciones para las tres variables espaciales, y sus soluciones dan lugar a tres números cuánticos, asociados con los niveles de energía del hidrógeno.

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Conceptos de la Ecuación de Schrödinger

Conceptos del Hidrógeno
 
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Ecuación de Schrödinger del Hidrógeno

El electrón en el átomo de hidrógeno está sometido un potencial de simetría esférica, por lo que es lógico utilizar coordenadas polares esféricas, para desarrollar la ecuación de Schrodinger. La energía potencial es simplemente la de una carga puntual:

Abajo se muestra la forma expandida de la ecuación de Schrodinger. Para solucionarlo, se separan las variables en la fórmula


El punto de partida es la fórmula de la ecuación de Schrodinger:
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Conceptos de la Ecuación de Schrödinger
 
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Números Cuánticos de las Ecuaciones del Hidrógeno

La solución del átomo de hidrógeno, requiere buscarle soluciones a las ecuaciones separadas, las cuales obedecen las restricciones de la función de onda. La solución de la ecuación radial sólo puede existir, cuando la constante que surge en la solución, está restringida a valores enteros. Esto proporciona el número cuántico principal:

De manera similar surge una constante en la ecuación de la colatitud, que da el número cuántico orbital:

Por último, las restricciones en la ecuación azimutal da lo que se llama el número cuántico magnético:

Estudio de Conceptos

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Separación de la Ecuación del Hidrógeno

Uno de los enfoques para resolver una ecuación diferencial parcial, consiste en separarla en ecuaciones individuales para cada variable implicada. La ecuación de Schrodinger del hidrógeno es separable. Recogiendo todos los términos dependientes del radio e igualándolos a una constante, da la ecuación radial:

Luego, se pueden separar los términos angulares de la ecuación en una ecuación de colatitud:

y por último, una ecuación azimutal.

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